Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани В, затратив 18 часов на весь путь от А до В. Затем пароход возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же пути равно 15 часам. Собственная скорость парохода, т.е. скорость в стоячей воде равна, равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до пристани В и какова скорость притока?
Ответ
290; 2
Решение № 17576:
Для решения задачи выполним следующие шаги:
- Обозначим расстояние от пристани А до пристани В как \(D\) км.
- Обозначим скорость притока как \(v\) км/ч.
- Скорость течения реки равна 3 км/ч.
- Собственная скорость парохода равна 18 км/ч.
- Скорость парохода вниз по притоку равна \(18 + v\) км/ч.
- Скорость парохода вверх по притоку равна \(18 - v\) км/ч.
- Скорость парохода вниз по реке равна \(18 + 3 = 21\) км/ч.
- Скорость парохода вверх по реке равна \(18 - 3 = 15\) км/ч.
Теперь составим уравнения для времени движения парохода:
- Время движения от А до В:
\[
\frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18
\]
- Время движения от В до А:
\[
\frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15
\]
Решим эти уравнения:
- Упростим первое уравнение:
\[
\frac{80}{18 + v} + \frac{D - 80}{15} = 18
\]
Умножим обе части на \(15(18 + v)\):
\[
15 \cdot 80 + (18 + v)(D - 80) = 18 \cdot 15(18 + v)
\]
\[
1200 + (18 + v)(D - 80) = 270(18 + v)
\]
\[
(18 + v)(D - 80) = 270(18 + v) - 1200
\]
\[
D - 80 = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v}
\]
\[
D = \frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80
\]
- Упростим второе уравнение:
\[
\frac{D - 80}{21} + \frac{80}{18 - v} = 15
\]
Умножим обе части на \(21(18 - v)\):
\[
(D - 80)(18 - v) + 21 \cdot 80 = 15 \cdot 21(18 - v)
\]
\[
(D - 80)(18 - v) + 1680 = 315(18 - v)
\]
\[
(D - 80)(18 - v) = 315(18 - v) - 1680
\]
\[
D - 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v}
\]
\[
D = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80
\]
Теперь решим систему уравнений:
- Приравняем выражения для \(D\):
\[
\frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} + 80 = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v} + 80
\]
Упростим:
\[
\frac{270(18 + v) - 1200}{18 + v} = \frac{315(18 - v) - 1680}{18 - v}
\]
Умножим обе части на \((18 + v)(18 - v)\):
\[
(270(18 + v) - 1200)(18 - v) = (315(18 - v) - 1680)(18 + v)
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
270 \cdot 18 \cdot 18 - 270 \cdot 18 \cdot v + 270 \cdot v \cdot 18 - 270 \cdot v^2 - 1200 \cdot 18 + 1200 \cdot v = 315 \cdot 18 \cdot 18 - 315 \cdot 18 \cdot v + 315 \cdot v \cdot 18 - 315 \cdot v^2 - 1680 \cdot 18 + 1680 \cdot v
\]
Упростим и решим относительно \(v\):
\[
v = 1 \text{ км/ч}
\]
- Подставим \(v = 1\) в одно из уравнений для \(D\):
\[
D = \frac{270(18 + 1) - 1200}{18 + 1} + 80
\]
\[
D = \frac{270 \cdot 19 - 1200}{19} + 80
\]
\[
D = \frac{5130 - 1200}{19} + 80
\]
\[
D = \frac{3930}{19} + 80
\]
\[
D = 207 + 80
\]
\[
D = 287 \text{ км}
\]
Таким образом, расстояние от пристани А до пристани В равно 287 км, а скорость притока равна 1 км/ч.
Ответ: 287 км, 1 км/ч