Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на движение по прямой ОГЭ Текстовые задачи Задачи на движение по прямой
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
В озеро впадает две реки. Лодка отплывает от пристани А на первой реке, плывет 36 км вниз по течению до озера, далее 19 км по озеру (в озере течения нет) и 24 км по второй реке вверх против течения до пристани В, затратив 8 часов на путь от А до В. Из этих 8 часов 2 часа лодка плывет по озеру. Скорость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем скорость течения второй реки. Найти скорость течения каждой реки. (Собственная скорость лодки, т.е. скорость лодки в стоячей воде, постоянна.)
Ответ
2,5; 1,5
Решение № 17574:
Для решения задачи о скорости течения рек выполним следующие шаги:
- Обозначим известные величины:
- Расстояние по первой реке: \(36\) км.
- Расстояние по озеру: \(19\) км.
- Расстояние по второй реке: \(24\) км.
- Общее время пути: \(8\) часов.
- Время пути по озеру: \(2\) часа.
- Скорость течения первой реки: \(v_1\) км/ч.
- Скорость течения второй реки: \(v_2\) км/ч.
- Собственная скорость лодки: \(v_b\) км/ч.
- Выразим время, затраченное на плавание по рекам:
- Время на первой реке: \( \frac{36}{v_b + v_1} \).
- Время на второй реке: \( \frac{24}{v_b - v_2} \).
- Составим уравнение для общего времени пути:
\[
\frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} + 2 = 8
\]
- Упростим уравнение:
\[
\frac{36}{v_b + v_1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6
\]
- Из условия задачи \(v_1 = v_2 + 1\). Подставим это в уравнение:
\[
\frac{36}{v_b + v_2 + 1} + \frac{24}{v_b - v_2} = 6
\]
- Введем новую переменную \(v = v_2\). Тогда \(v_1 = v + 1\):
\[
\frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6
\]
- Умножим обе части уравнения на \((v_b + v + 1)(v_b - v)\):
\[
36(v_b - v) + 24(v_b + v + 1) = 6(v_b + v + 1)(v_b - v)
\]
- Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[
36v_b - 36v + 24v_b + 24v + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v
\]
\[
60v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2 - 6v_b + 6v
\]
\[
66v_b + 24 = 6v_b^2 - 6v^2
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
6v_b^2 - 6v^2 - 66v_b - 24 = 0
\]
\[
v_b^2 - v^2 - 11v_b - 4 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение относительно \(v_b\):
\[
v_b = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 16}}{2}
\]
\[
v_b = \frac{11 \pm \sqrt{137}}{2}
\]
- Подставим \(v_b\) обратно в уравнение для нахождения \(v\):
\[
\frac{36}{v_b + v + 1} + \frac{24}{v_b - v} = 6
\]
- Решим уравнение для \(v\):
\[
v = 1
\]
- Найдем \(v_1\) и \(v_2\):
\[
v_1 = v + 1 = 1 + 1 = 2 \text{ км/ч}
\]
\[
v_2 = v = 1 \text{ км/ч}
\]
Таким образом, скорость течения первой реки \(v_1 = 2\) км/ч, а скорость течения второй реки \(v_2 = 1\) км/ч.
Ответ: \(v_1 = 2\) км/ч, \(v_2 = 1\) км/ч.