Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на движение по прямой ОГЭ Текстовые задачи Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В. Когда первый проехал треть пути, второму оставалось до середины пути ехать 2.5 км. Когда второй проехал половину пути, первый отставал от него на 3 км. Найдите расстояние от А до В.

Ответ

30

Решение № 17572:

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние между пунктами А и В как \( D \) километров.
2. Когда первый велосипедист проехал треть пути, он проехал \( \frac{D}{3} \) километров.
3. Второму велосипедисту оставалось до середины пути ехать 2.5 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.
4. Когда второй велосипедист проехал половину пути, он проехал \( \frac{D}{2} \) километров.
5. Первый велосипедист в этот момент отставал от него на 3 км, значит, он проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.

Теперь у нас есть две ситуации, которые можно выразить уравнениями:

1. Когда первый велосипедист проехал \( \frac{D}{3} \) километров, второй проехал \( \frac{D}{2} - 2.5 \) километров.
2. Когда второй велосипедист проехал \( \frac{D}{2} \) километров, первый проехал \( \frac{D}{2} - 3 \) километров.

Для удобства обозначим скорость первого велосипедиста как \( v_1 \), а скорость второго велосипедиста как \( v_2 \).

1. Из первой ситуации: \[ v_1 \cdot t_1 = \frac{D}{3} \] \[ v_2 \cdot t_1 = \frac{D}{2} - 2.5 \] Где \( t_1 \) — время, за которое первый велосипедист проехал треть пути.
2. Из второй ситуации: \[ v_2 \cdot t_2 = \frac{D}{2} \] \[ v_1 \cdot t_2 = \frac{D}{2} - 3 \] Где \( t_2 \) — время, за которое второй велосипедист проехал половину пути.

Теперь найдем отношение скоростей:

1. Из первого уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{3}}{\frac{D}{2} - 2.5} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{2D}{3(D - 5)} \]
2. Из второго уравнения: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{D}{2} - 3}{\frac{D}{2}} \] \] Упростим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{D - 6}{D} \]

Приравняем выражения для отношения скоростей:

1. \[ \frac{2D}{3(D - 5)} = \frac{D - 6}{D} \]
2. Перемножим обе части уравнения: \[ 2D^2 = 3(D - 5)(D - 6) \]
3. Раскроем скобки: \[ 2D^2 = 3(D^2 - 11D + 30) \]
4. Упростим выражение: \[ 2D^2 = 3D^2 - 33D + 90 \]
5. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2D^2 - 3D^2 + 33D - 90 = 0 \]
6. Упростим: \[ -D^2 + 33D - 90 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ D^2 - 33D + 90 = 0 \]
8. Найдем дискриминант: \[ \Delta = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1089 - 360 = 729 \]
9. Найдем корни уравнения: \[ D = \frac{33 \pm \sqrt{729}}{2} \]
10. Упростим: \[ D = \frac{33 \pm 27}{2} \]
11. Найдем два решения: \[ D_1 = \frac{60}{2} = 30 \] \[ D_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
12. Поскольку расстояние не может быть 3 км (так как это меньше, чем 2.5 км, которые оставались второму велосипедисту), выберем \( D = 30 \) км.

Таким образом, расстояние от А до В составляет 30 км. Ответ: 30