Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Одновременно начали гонки с одного старта в одном направлении два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, другой со скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта в том же направлении отправился третий гонщик. Найдите скорость третьего гонщика, если известно, что он догнал первого за 1 час 15 минут позже, чем второго.

Ответ

100

Решение № 17570:

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость третьего гонщика как \(v\) км/ч.
2. Первый мотоциклист едет со скоростью 80 км/ч, второй — со скоростью 60 км/ч.
3. Третий гонщик стартует через полчаса после первых двух, то есть через 0.5 часа.
4. Обозначим время, через которое третий гонщик догоняет второго мотоциклиста, как \(t\) часов.
5. Время, через которое третий гонщик догоняет первого мотоциклиста, будет \(t + 1.25\) часов (поскольку он догоняет первого на 1 час 15 минут позже).

Теперь составим уравнения для расстояний:

6. Расстояние, которое проехал второй мотоциклист за время \(t + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) \]
7. Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t\) часов: \[ v \cdot t \]
8. Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет второго): \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \]

Теперь рассмотрим уравнение для первого мотоциклиста:

9. Расстояние, которое проехал первый мотоциклист за время \(t + 1.25 + 0.5\) часов (поскольку третий гонщик стартовал через 0.5 часа после первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) \]
10. Расстояние, которое проехал третий гонщик за время \(t + 1.25\) часов: \[ v \cdot (t + 1.25) \]
11. Приравняем эти расстояния (поскольку третий гонщик догоняет первого): \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

12. Первое уравнение: \[ 60 \cdot (t + 0.5) = v \cdot t \]
13. Второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = v \cdot (t + 1.25) \]

Решим первое уравнение:

14. Раскроем скобки: \[ 60t + 30 = vt \]
15. Выразим \(v\): \[ v = \frac{60t + 30}{t} \]

Подставим \(v\) во второе уравнение:

16. Подставим \(v\) во второе уравнение: \[ 80 \cdot (t + 1.75) = \left(\frac{60t + 30}{t}\right) \cdot (t + 1.25) \]
17. Умножим обе части на \(t\): \[ 80t^2 + 140t = (60t + 30) \cdot (t + 1.25) \]
18. Раскроем скобки: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 75t + 30t + 37.5 \]
19. Упростим: \[ 80t^2 + 140t = 60t^2 + 105t + 37.5 \]
20. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 20t^2 + 35t - 37.5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

21. Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 20\), \(b = 35\), \(c = -37.5\).
22. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-37.5) = 1225 + 3000 = 4225 \]
23. Найдем корни: \[ t = \frac{-35 \pm \sqrt{4225}}{40} \]
24. Вычислим корни: \[ t = \frac{-35 \pm 65}{40} \]
25. Найдем положительный корень: \[ t = \frac{30}{40} = 0.75 \]

Теперь найдем скорость третьего гонщика \(v\):

26. Подставим \(t = 0.75\) в выражение для \(v\): \[ v = \frac{60 \cdot 0.75 + 30}{0.75} = \frac{45 + 30}{0.75} = \frac{75}{0.75} = 100 \]

Таким образом, скорость третьего гонщика равна 100 км/ч. Ответ: 100