Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на движение по прямой ОГЭ Текстовые задачи Задачи на движение по прямой

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Из M в N со скоростью 80 км/ч выезжает автомобиль. Одновременно из N в M со скоростью 60 км/ч выезжает второй автомобиль. Через 1 час вслед за первым автомобилем выезжает третий автомобиль, который сначала догоняет первый автомобиль, а еще через час после этого встречается со вторым. Найти скорость третьего автомобиля, зная, что она меньше 200 км/ч, а расстояние между пунктами M и N равно 860 км.

Ответ

100

Решение № 17564:

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость третьего автомобиля как \(V\) км/ч.
2. Первый автомобиль выезжает из M в N со скоростью 80 км/ч. За 1 час он проедет 80 км.
3. Второй автомобиль выезжает из N в M со скоростью 60 км/ч. За 1 час он проедет 60 км.
4. Третий автомобиль выезжает из M через 1 час после первого автомобиля и догоняет его. Расстояние между ними в момент выезда третьего автомобиля составляет 80 км.
5. Время, за которое третий автомобиль догоняет первый автомобиль: \[ \frac{80}{V - 80} \]
6. После того как третий автомобиль догоняет первый автомобиль, он продолжает движение и через 1 час встречается со вторым автомобилем. За это время второй автомобиль проедет еще 60 км.
7. Расстояние, которое проедет третий автомобиль за этот час: \[ V \cdot 1 = V \]
8. Таким образом, общее расстояние, которое проедет третий автомобиль до встречи со вторым автомобилем: \[ \frac{80}{V - 80} \cdot V + V \]
9. Расстояние, которое проедет второй автомобиль до встречи с третьим автомобилем: \[ 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) \]
10. Суммарное расстояние между M и N равно 860 км. Поэтому: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + 60 \cdot \left( \frac{80}{V - 80} + 1 \right) = 860 \]
11. Упростим уравнение: \[ \frac{80V}{V - 80} + V + \frac{4800}{V - 80} + 60 = 860 \]
12. Объединим дроби: \[ \frac{80V + 4800}{V - 80} + V + 60 = 860 \]
13. Умножим обе части уравнения на \(V - 80\): \[ 80V + 4800 + V(V - 80) + 60(V - 80) = 860(V - 80) \]
14. Раскроем скобки и упростим: \[ 80V + 4800 + V^2 - 80V + 60V - 4800 = 860V - 68800 \]
15. Сократим подобные члены: \[ V^2 + 60V = 860V - 68800 \]
16. Перенесем все члены в одну сторону: \[ V^2 + 60V - 860V + 68800 = 0 \]
17. Упростим уравнение: \[ V^2 - 800V + 68800 = 0 \]
18. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -800\), \(c = 68800\): \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{800^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68800}}{2 \cdot 1} \]
19. Вычислим дискриминант: \[ 800^2 - 4 \cdot 68800 = 640000 - 275200 = 364800 \]
20. Вычислим корни: \[ V = \frac{800 \pm \sqrt{364800}}{2} \] \[ V = \frac{800 \pm 604}{2} \]
21. Найдем два значения: \[ V_1 = \frac{800 + 604}{2} = 702 \] \[ V_2 = \frac{800 - 604}{2} = 98 \]
22. По условию задачи скорость третьего автомобиля меньше 200 км/ч. Значит, правильный ответ: \[ V = 98 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость третьего автомобиля равна 98 км/ч. Ответ: 98 км/ч