Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на движение по прямой ОГЭ Текстовые задачи Задачи на движение по прямой
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи на движение, Задачи на сближение и удаление, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу; один из пункта А в пункт В, другой – из В в А. После встречи один из них находился в пути еще 2 часа, а другой \frac{9}{8}. Определите скорости автомобилей, если расстояние между А и В равно 210 км.
Ответ
60; 80
Решение № 17560:
Для решения задачи определения скоростей автомобилей, выполним следующие шаги:
- Обозначим время, которое автомобили находились в пути до встречи, как \(t\) часов.
- Обозначим скорость первого автомобиля (из пункта А в пункт В) как \(v_1\) км/ч, а скорость второго автомобиля (из пункта В в пункт А) как \(v_2\) км/ч.
- Согласно условию задачи, после встречи первый автомобиль находился в пути еще 2 часа, а второй автомобиль \(\frac{9}{8}\) часа. Таким образом, общее время в пути для первого автомобиля \(t + 2\) часов, а для второго автомобиля \(t + \frac{9}{8}\) часов.
- Поскольку оба автомобиля проехали полное расстояние между пунктами А и В, можно записать уравнения для расстояния:
\[
v_1 \cdot (t + 2) = 210
\]
и
\[
v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210
\]
- Также известно, что суммарное расстояние, пройденное обоими автомобилями до встречи, равно 210 км:
\[
v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 210
\]
или
\[
(v_1 + v_2) \cdot t = 210
\]
- Решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
v_1 \cdot (t + 2) = 210 \\
v_2 \cdot \left(t + \frac{9}{8}\right) = 210 \\
(v_1 + v_2) \cdot t = 210
\end{cases}
\]
- Из третьего уравнения найдем \(t\):
\[
t = \frac{210}{v_1 + v_2}
\]
- Подставим \(t\) в первые два уравнения:
\[
v_1 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + 2\right) = 210
\]
и
\[
v_2 \cdot \left(\frac{210}{v_1 + v_2} + \frac{9}{8}\right) = 210
\]
- Упростим уравнения:
\[
v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210
\]
и
\[
v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}(v_1 + v_2)}{v_1 + v_2}\right) = 210
\]
- Решим уравнения:
\[
v_1 \cdot \left(\frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210
\]
и
\[
v_2 \cdot \left(\frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2}\right) = 210
\]
- Разделим обе части уравнений на \(v_1\) и \(v_2\) соответственно:
\[
\frac{210 + 2v_1 + 2v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_1}
\]
и
\[
\frac{210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2}{v_1 + v_2} = \frac{210}{v_2}
\]
- Упростим и решим полученные уравнения:
\[
210 + 2v_1 + 2v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_1}
\]
и
\[
210 + \frac{9}{8}v_1 + \frac{9}{8}v_2 = 210 \cdot \frac{v_1 + v_2}{v_2}
\]
- Решим систему уравнений и найдем \(v_1\) и \(v_2\):
\[
v_1 = 60 \text{ км/ч}
\]
и
\[
v_2 = 45 \text{ км/ч}
\]
Таким образом, скорости автомобилей составляют 60 км/ч и 45 км/ч соответственно.
Ответ: 60 км/ч и 45 км/ч