Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на движение по прямой ОГЭ Текстовые задачи Задачи на движение по прямой
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание»,
Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Дорога от пункта А до пункта В идет сначала по ровному месту, затем в гору. Автомобиль, выехав из А в В, двигался по ровному месту со скоростью 70 км/ч, в гору – со скоростью 60 км/ч. Доехав до пункта В, он тотчас повернул назад и двигался под гору со скоростью 75 км/ч. Найдите длину ровного участка пути, если на весь путь от А до В и назад автомобиль затратил 3 ч 20 минут и проехал за это время 250 км.
Ответ
105
Решение № 17540:
Для решения задачи о движении автомобиля из пункта А в пункт В и обратно, выполним следующие шаги:
- Запишем известные данные:
- Скорость автомобиля по ровному месту: \(70 \, \text{км/ч}\).
- Скорость автомобиля в гору: \(60 \, \text{км/ч}\).
- Скорость автомобиля под гору: \(75 \, \text{км/ч}\).
- Общее время в пути: \(3 \, \text{ч} \, 20 \, \text{мин} = 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \, \text{ч}\).
- Общая длина пути: \(250 \, \text{км}\).
- Обозначим длину ровного участка пути как \(x \, \text{км}\), а длину участка в гору как \(y \, \text{км}\).
- Запишем уравнение для общей длины пути:
\[
2x + 2y = 250
\]
Упростим это уравнение:
\[
x + y = 125
\]
- Запишем уравнение для общего времени в пути:
\[
\frac{x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} + \frac{x}{70} = \frac{10}{3}
\]
Упростим это уравнение:
\[
\frac{2x}{70} + \frac{y}{60} + \frac{y}{75} = \frac{10}{3}
\]
- Приведем все члены к общему знаменателю:
\[
\frac{2x}{70} = \frac{x}{35}, \quad \frac{y}{60} = \frac{y}{60}, \quad \frac{y}{75} = \frac{y}{75}
\]
Общий знаменатель для 35, 60 и 75 равен 300. Тогда:
\[
\frac{6x}{300} + \frac{5y}{300} + \frac{4y}{300} = \frac{10}{3}
\]
Упростим:
\[
\frac{6x + 5y + 4y}{300} = \frac{10}{3}
\]
\[
\frac{6x + 9y}{300} = \frac{10}{3}
\]
Умножим обе части на 300:
\[
6x + 9y = 1000
\]
- Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 125 \\
6x + 9y = 1000
\end{cases}
\]
- Решим систему уравнений. Умножим первое уравнение на 6:
\[
6x + 6y = 750
\]
Вычтем это уравнение из второго:
\[
(6x + 9y) - (6x + 6y) = 1000 - 750
\]
\[
3y = 250
\]
\[
y = \frac{250}{3} \approx 83.33 \, \text{км}
\]
- Подставим \(y\) в первое уравнение:
\[
x + \frac{250}{3} = 125
\]
\[
x = 125 - \frac{250}{3}
\]
\[
x = 125 - 83.33
\]
\[
x \approx 41.67 \, \text{км}
\]
Таким образом, длина ровного участка пути составляет примерно \(41.67 \, \text{км}\).
Ответ: \(41.67 \, \text{км}\).