Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Угол при вершине \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(108^{o}\) . Перпендикуляр к биссектрисе \(AD\) этого треугольника, проходящий через точку \(D\), пересекает сторону \(AC\) в точке \(E\). Докажите, что \(DE = BD\).
Ответ
NaN
Решение № 17217:
Для решения задачи докажем, что \(DE = BD\). Выполним следующие шаги:
- Запишем условие задачи:
\[
\text{Угол при вершине } B \text{ равнобедренного треугольника } ABC \text{ равен } 108^{\circ}.
\]
\[
\text{Перпендикуляр к биссектрисе } AD \text{ этого треугольника, проходящий через точку } D, \text{ пересекает сторону } AC \text{ в точке } E.
\]
- Обозначим углы:
\[
\text{Пусть } \angle ABD = \angle DBC = \alpha.
\]
\[
\text{Тогда } \angle ABC = 2\alpha = 108^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\alpha\):
\[
2\alpha = 108^{\circ} \implies \alpha = 54^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\angle ADB\):
\[
\angle ADB = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle DBC = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 54^{\circ} = 72^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\angle DAC\):
\[
\angle DAC = \frac{180^{\circ} - \angle ADB}{2} = \frac{180^{\circ} - 72^{\circ}}{2} = 54^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\angle DAE\):
\[
\angle DAE = 90^{\circ} - \angle DAC = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\angle ADE\):
\[
\angle ADE = 90^{\circ} - \angle DAE = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}.
\]
- Найдем угол \(\angle DCE\):
\[
\angle DCE = \angle DAC = 54^{\circ} \text{ (так как } AC = DC \text{ и } AD \text{ является биссектрисой)}.
\]
- Найдем угол \(\angle DEC\):
\[
\angle DEC = 180^{\circ} - \angle DCE - \angle ADE = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 54^{\circ} = 72^{\circ}.
\]
- Так как \(\angle DEC = \angle ADB\), то треугольник \(DEC\) равнобедренный:
\[
\text{Следовательно, } DE = BD.
\]
Таким образом, мы доказали, что \(DE = BD\).
Ответ: \(DE = BD\).