Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^{o}\) , равен половине гипотенузы.

Ответ

NaN

Решение № 17215:

Для доказательства того, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с углом \(C\) равным \(90^\circ\), углом \(A\) равным \(30^\circ\) и углом \(B\) равным \(60^\circ\).
2. Пусть гипотенуза \(AB = c\), катет \(AC = a\) (против угла \(30^\circ\)) и катет \(BC = b\) (против угла \(60^\circ\)).
3. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
4. Из тригонометрии известно, что: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Выразим катеты через гипотенузу и синусы углов: \[ a = c \sin 30^\circ = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2} \] \[ b = c \sin 60^\circ = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c \sqrt{3}}{2} \]
6. Подставим выражения для \(a\) и \(b\) в теорему Пифагора: \[ c^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c \sqrt{3}}{2}\right)^2 \]
7. Упростим выражения: \[ c^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{3c^2}{4} \]
8. Сложим дроби: \[ c^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{3c^2}{4} = \frac{4c^2}{4} = c^2 \]
9. Таким образом, мы видим, что выражение верно, и катет \(a\), лежащий против угла в \(30^\circ\), действительно равен половине гипотенузы: \[ a = \frac{c}{2} \]

Таким образом, доказано, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.