Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Угол при основании \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) вдвое больше угла при вершине \(A\), \(BD\) — биссектриса треугольника. Докажите, что \(AD = BC\).

Ответ

NaN

Решение № 17202:

Для решения задачи докажем, что \(AD = BC\) в равнобедренном треугольнике \(ABC\), где угол при основании \(BC\) вдвое больше угла при вершине \(A\), и \(BD\) — биссектриса треугольника.

1. Обозначим углы:
   • \(\angle BAC = \alpha\)
   • \(\angle BCA = \beta\)
2. По условию задачи, \(\angle BCA\) вдвое больше \(\angle BAC\): \[ \beta = 2\alpha \]
3. Так как \(BD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), то: \[ \angle ABD = \angle DBC \]
4. Выразим углы при вершине \(B\) через \(\alpha\) и \(\beta\): \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC \] Поскольку \(\angle ABC = 180^\circ - \alpha - \beta\), то: \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - \beta) \]
5. Подставим \(\beta = 2\alpha\) в уравнение: \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha - 2\alpha) = \frac{1}{2} (180^\circ - 3\alpha) \]
6. Выразим углы \(\angle BAD\) и \(\angle BCD\): \[ \angle BAD = \angle BAC = \alpha \] \[ \angle BCD = \angle BCA = 2\alpha \]
7. Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\): \[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} (180^\circ - 3\alpha) \] \[ \angle BAD = \alpha \]
8. Выразим углы \(\angle ADB\): \[ \angle ADB = 180^\circ - \angle ABD - \angle BAD = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - 3\alpha) - \alpha \] Упростим выражение: \[ \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{3\alpha}{2} - \alpha = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \]
9. Теперь рассмотрим треугольник \(BCD\): \[ \angle DBC = \frac{1}{2} (180^\circ - 3\alpha) \] \[ \angle BCD = 2\alpha \]
10. Выразим углы \(\angle BDC\): \[ \angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle BCD = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - 3\alpha) - 2\alpha \] Упростим выражение: \[ \angle BDC = 180^\circ - 90^\circ + \frac{3\alpha}{2} - 2\alpha = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \]
11. Таким образом, \(\angle ADB = \angle BDC\).
12. Поскольку \(\angle ADB = \angle BDC\) и \(\angle BAD = \angle BCA\), треугольники \(ABD\) и \(BCD\) подобны по двум углам и одной стороне (треугольник \(ABD\) и треугольник \(BCD\) имеют общую сторону \(BD\) и равные углы \(\angle ADB\) и \(\angle BDC\)).
13. Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(BCD\) равны, а значит, \(AD = BC\).

Таким образом, мы доказали, что \(AD = BC\).