Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, сумма углов треугольника,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.

Ответ

NaN

Решение № 17199:

Для доказательства того, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с катетами \( AC = BC \) и гипотенузой \( AB \). Пусть \( CH \) — высота, проведенная из вершины \( C \) прямого угла на гипотенузу \( AB \).
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, то есть \( AC = BC \).
3. Высота \( CH \) делит гипотенузу \( AB \) на два равных отрезка, то есть \( AH = HB \).
4. Поскольку \( \triangle ABC \) прямоугольный, по теореме Пифагора имеем: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Так как \( AC = BC \), то: \[ AB^2 = 2AC^2 \]
5. Высота \( CH \) делит треугольник \( \triangle ABC \) на два равных прямоугольных треугольника \( \triangle ACH \) и \( \triangle BCH \).
6. В треугольнике \( \triangle ACH \) высота \( CH \) является катетом, а \( AH \) — гипотенузой. По теореме Пифагора для \( \triangle ACH \): \[ AC^2 = CH^2 + AH^2 \]
7. Так как \( AH = \frac{AB}{2} \), то: \[ AC^2 = CH^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \]
8. Подставим \( AB^2 = 2AC^2 \) в уравнение: \[ AC^2 = CH^2 + \frac{AB^2}{4} \] \[ AC^2 = CH^2 + \frac{2AC^2}{4} \] \[ AC^2 = CH^2 + \frac{AC^2}{2} \]
9. Упростим уравнение: \[ AC^2 - \frac{AC^2}{2} = CH^2 \] \[ \frac{AC^2}{2} = CH^2 \]
10. Таким образом: \[ CH^2 = \frac{AC^2}{2} \] \[ CH = \frac{AC}{\sqrt{2}} \]
11. Так как \( AB = AC \sqrt{2} \), то: \[ CH = \frac{AB}{2} \]
12. Итак, высота \( CH \) равна половине гипотенузы \( AB \).

Таким образом, мы доказали, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы. Ответ: доказано.