Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, свойства и признаки параллельности двух прямых,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?

Ответ

Да

Решение № 17192:

Для доказательства того, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию, и проверки обратного утверждения, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с вершиной \(A\). Пусть \(AB = AC\).
2. Пусть \(D\) — точка пересечения продолжения сторон \(AB\) и \(AC\) за пределами треугольника \(ABC\).
3. Пусть \(E\) — точка пересечения биссектрисы внешнего угла \(\angle BAC\) с основанием \(BC\).
4. Рассмотрим треугольник \(ADE\). Поскольку \(AD\) и \(AE\) являются продолжениями сторон \(AB\) и \(AC\), то \(AD = AE\).
5. Так как \(AD = AE\), треугольник \(ADE\) является равнобедренным с \(AD = AE\).
6. Следовательно, угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).
7. Поскольку \(DE\) является биссектрисой внешнего угла \(\angle BAC\), угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).
8. Таким образом, \(DE\) параллельна \(BC\), так как соответствующие углы равны.

Теперь проверим обратное утверждение: если биссектриса внешнего угла параллельна основанию, то треугольник является равнобедренным.

1. Пусть треугольник \(ABC\) таков, что биссектриса внешнего угла \(\angle BAC\) параллельна основанию \(BC\).
2. Пусть \(D\) — точка пересечения продолжения сторон \(AB\) и \(AC\) за пределами треугольника \(ABC\).
3. Пусть \(E\) — точка пересечения биссектрисы внешнего угла \(\angle BAC\) с основанием \(BC\).
4. Поскольку \(DE\) параллельна \(BC\), углы \(\angle ADE\) и \(\angle AEB\) равны.
5. Так как \(DE\) является биссектрисой внешнего угла \(\angle BAC\), угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle AEB\).
6. Следовательно, треугольник \(ADE\) является равнобедренным с \(AD = AE\).
7. Таким образом, \(AB = AC\), и треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

Таким образом, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию, и обратное утверждение также верно. Ответ: Оба утверждения верны.