Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, свойства и признаки параллельности двух прямых,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая пересекает параллельные прямые \(a\) и \(b\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной \(B\) пересекает прямую \(a\) в точке \(C\). Найдите \(AC\), если \(AB = 1\).

Ответ

1

Решение № 17191:

Для решения задачи о нахождении длины \(AC\) в указанной геометрической конфигурации выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Прямая пересекает параллельные прямые \(a\) и \(b\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной \(B\) пересекает прямую \(a\) в точке \(C\). Найдите \(AC\), если \(AB = 1\).
2. Обозначим угол \(\angle ABC\) как \(\alpha\). Поскольку \(AB\) пересекает параллельные прямые, \(\alpha\) является углом между прямой \(AB\) и прямой \(a\).
3. Биссектриса угла \(\alpha\) делит его пополам, следовательно, \(\angle ACB = \frac{\alpha}{2}\).
4. Так как \(a\) и \(b\) параллельны, угол \(\angle BAC\) также равен \(\alpha\) (по теореме о соответствующих углах при параллельных прямых).
5. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Углы треугольника \(ABC\) равны \(\alpha\), \(\frac{\alpha}{2}\) и \(180^\circ - \alpha - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\).
6. Поскольку \(\angle BAC = \alpha\) и \(\angle ACB = \frac{\alpha}{2}\), треугольник \(ABC\) является изоцелесным треугольником с основанием \(AC\).
7. В изоцелесном треугольнике \(ABC\) боковые стороны равны, то есть \(AB = BC\).
8. Так как \(AB = 1\), то \(BC = 1\).
9. Опустим высоту \(BH\) из вершины \(B\) на основание \(AC\). Поскольку треугольник изоцелесный, высота \(BH\) является также биссектрисой угла \(\angle BAC\), деля его пополам.
10. Таким образом, \(\angle BAH = \angle BCH = \frac{\alpha}{2}\).
11. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). Поскольку \(\angle BAH = \frac{\alpha}{2}\) и \(\angle ABH = 90^\circ\), угол \(\angle BHA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\).
12. В прямоугольном треугольнике \(ABH\) катет \(AH\) равен \(\frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\).
13. Так как \(AC = 2 \cdot AH\), то \(AC = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).

Таким образом, \(AC = 1\). Ответ: 1