Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, продление медианы за свою длину, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины

Ответ

NaN

Решение № 17177:

Для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины, рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(A'B'C'\), где \(AD\) и \(A'D'\) — медианы, выходящие из вершин \(A\) и \(A'\) соответственно.

1. Пусть \(AD\) и \(A'D'\) — медианы треугольников \(ABC\) и \(A'B'C'\) соответственно.
2. Пусть \(AB = A'B'\) и \(AC = A'C'\), то есть две стороны треугольников равны.
3. Пусть \(AD = A'D'\), то есть медианы равны.
4. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\).
5. В треугольниках \(ABD\) и \(A'B'D'\) известно, что:
• \(AB = A'B'\) (по условию)
• \(AD = A'D'\) (по условию)
• \(BD = B'D'\) (поскольку \(D\) и \(D'\) — середины \(BC\) и \(B'C'\) соответственно, то \(BD = \frac{1}{2}BC\) и \(B'D' = \frac{1}{2}B'C'\))
6. Таким образом, треугольники \(ABD\) и \(A'B'D'\) равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников по трем сторонам).
7. Следовательно, \(\angle ADB = \angle A'D'B'\) (углы между соответствующими сторонами равных треугольников равны).
8. Теперь рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(A'C'D'\).
9. В треугольниках \(ACD\) и \(A'C'D'\) известно, что:
• \(AC = A'C'\) (по условию)
• \(AD = A'D'\) (по условию)
• \(CD = C'D'\) (поскольку \(D\) и \(D'\) — середины \(BC\) и \(B'C'\) соответственно, то \(CD = \frac{1}{2}BC\) и \(C'D' = \frac{1}{2}B'C'\))
10. Таким образом, треугольники \(ACD\) и \(A'C'D'\) равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников по трем сторонам).
11. Следовательно, \(\angle ADC = \angle A'D'C'\) (углы между соответствующими сторонами равных треугольников равны).
12. Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\).
13. В треугольниках \(ABC\) и \(A'B'C'\) известно, что:
• \(AB = A'B'\) (по условию)
• \(AC = A'C'\) (по условию)
• \(\angle ADB = \angle A'D'B'\) (по доказанному ранее)
• \(\angle ADC = \angle A'D'C'\) (по доказанному ранее)
14. Таким образом, треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A'B'C'\) равны. \(\blacksquare\)