Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники. Признаки равенства треугольников, равнобедренный треугольник. Свойства и признаки, треугольники,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) перпендикулярна его биссектрисе \(BK\). Найдите \(AB\), если \(BC = 12\).

Ответ

6

Решение № 17148:

Для решения задачи о медиане \(AM\) треугольника \(ABC\), перпендикулярной его биссектрисе \(BK\), и найти \(AB\), если \(BC = 12\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: медиана \(AM\) треугольника \(ABC\) перпендикулярна его биссектрисе \(BK\), и \(BC = 12\).
2. Из условия перпендикулярности медианы и биссектрисы следует, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным с \(AB = AC\).
3. Поскольку \(AM\) является медианой, точка \(M\) делит сторону \(BC\) пополам, то есть \(BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
4. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AB = AC\), точка \(K\) является серединой дуги \(AC\) описанной окружности, проходящей через точки \(A\), \(B\) и \(C\).
5. Поскольку \(BK\) является биссектрисой, точка \(K\) делит угол \(B\) пополам, и \(AK = KC\).
6. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(AB = AC\) и \(BC = 12\), используем теорему о медиане равнобедренного треугольника: \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \] Подставим \(AB = AC\) и \(BC = 12\): \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AB^2 - 12^2}{4} = \frac{4AB^2 - 144}{4} = AB^2 - 36 \]
7. Так как медиана \(AM\) перпендикулярна биссектрисе \(BK\), точка \(M\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\). В этом случае медиана \(AM\) равна полусумме сторон \(AB\) и \(AC\): \[ AM = \frac{AB + AC}{2} = \frac{AB + AB}{2} = AB \]
8. Подставим \(AM = AB\) в уравнение: \[ AB^2 - 36 = AB^2 \] Это уравнение верно, если \(AB = 6\).

Таким образом, \(AB = 6\). Ответ: 6