Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, вертикальные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Два равных угла имеют общую вершину, а их биссектрисы являются дополнительными лучами. Докажите, что эти углы вертикальные

Ответ

NaN

Решение № 16872:

Для доказательства того, что два равных угла с общей вершиной и биссектрисами, являющимися дополнительными лучами, являются вертикальными углами, выполним следующие шаги:

1. Пусть у нас есть два угла с общей вершиной \(O\) и биссектрисами \(OB\) и \(OC\), которые являются дополнительными лучами. То есть, \(OB\) и \(OC\) лежат на одной прямой и образуют прямую линию.
2. Обозначим два угла как \(\angle AOB\) и \(\angle COB\).
3. Поскольку \(OB\) и \(OC\) являются биссектрисами углов \(\angle AOB\) и \(\angle COB\) соответственно, то каждая биссектриса делит угол пополам.
4. Таким образом, \(\angle AOB = 2\angle AOC\) и \(\angle COB = 2\angle BOC\).
5. Так как \(OB\) и \(OC\) лежат на одной прямой, сумма углов \(\angle AOB\) и \(\angle COB\) равна \(180^\circ\): \[ \angle AOB + \angle COB = 180^\circ \]
6. Подставим выражения для углов: \[ 2\angle AOC + 2\angle BOC = 180^\circ \]
7. Упростим уравнение: \[ 2(\angle AOC + \angle BOC) = 180^\circ \]
8. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \angle AOC + \angle BOC = 90^\circ \]
9. Так как \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\) являются дополнительными углами (их сумма равна \(90^\circ\)), то \(\angle AOC = \angle BOC\).
10. Следовательно, \(\angle AOB\) и \(\angle COB\) равны, поскольку они являются удвоенными значениями равных углов \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\).
11. По определению, два равных угла с общей вершиной и вершинами, лежащими на одной прямой, являются вертикальными углами.

Таким образом, мы доказали, что два равных угла с общей вершиной и биссектрисами, являющимися дополнительными лучами, являются вертикальными углами.