Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решить уравнение: \(lg(3x-4)^{2}+lg(2x-4)^{2}=2\)
Ответ
{0,5;3}
Решение № 16030:
Для решения уравнения \( \lg(3x-4)^2 + \lg(3x-4)^2 = 2 \) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
\lg(3x-4)^2 + \lg(2x-4)^2 = 2
\]
- Используем свойство логарифмов: \(\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)\). Применим это свойство к каждому слагаемому:
\[
2 \cdot \lg(3x-4) + 2 \cdot \lg(2x-4) = 2
\]
- Вынесем общий множитель 2 за скобки:
\[
2 (\lg(3x-4) + \lg(2x-4)) = 2
\]
- Разделим обе части уравнения на 2:
\[
\lg(3x-4) + \lg(2x-4) = 1
\]
- Используем свойство логарифмов: \(\lg(a) + \lg(b) = \lg(ab)\):
\[
\lg((3x-4)(2x-4)) = 1
\]
- Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме:
\[
(3x-4)(2x-4) = 10
\]
- Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
(3x-4)(2x-4) = 6x^2 - 20x + 16 = 10
\]
- Приведем уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
6x^2 - 20x + 16 - 10 = 0
\]
\[
6x^2 - 20x + 6 = 0
\]
- Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
\[
3x^2 - 10x + 3 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -10\) и \(c = 3\):
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}
\]
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}
\]
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6}
\]
\[
x = \frac{10 \pm 8}{6}
\]
- Найдем два корня уравнения:
\[
x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
Таким образом, решения уравнения \( \lg(3x-4)^2 + \lg(2x-4)^2 = 2 \) есть \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{1}{3} \)