Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}^{2}(x-1)^{2}=5+log_{0,5}(x-1)\)

Ответ

{2^{-5/4}+1;3}

Решение № 16029:

Для решения уравнения \( \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \]
2. Перепишем логарифм с основанием 0.5 через логарифм с основанием 2: \[ \log_{0.5}(x-1) = \frac{\log_{2}(x-1)}{\log_{2}(0.5)} = -\log_{2}(x-1) \] Поскольку \(\log_{2}(0.5) = -1\).
3. Подставим выражение для \(\log_{0.5}(x-1)\) в уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 - \log_{2}(x-1) \]
4. Воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_{2}(a^b) = b \log_{2}(a)\): \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) \]
5. Упростим выражение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) = 5 - \log_{2}(x-1) \]
6. Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x-1) = 5 \]
7. Вынесем общий множитель \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1) (\log_{2}(x-1)^2 + 1) = 5 \]
8. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\)
   • Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\)
9. Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\): \[ x-1 = 1 \implies x = 2 \]
10. Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\):
    1. Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)} \]
    2. Умножим обе части на \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1)^3 + \log_{2}(x-1) = 5 \]
    3. Введем замену \(y = \log_{2}(x-1)\): \[ y^3 + y = 5 \]
    4. Решим кубическое уравнение \(y^3 + y - 5 = 0\): \[ y = 1 \quad \text{(используя численные методы или графические методы)} \]
    5. Перепишем \(\log_{2}(x-1) = 1\): \[ x-1 = 2 \implies x = 3 \]

Таким образом, решения уравнения \(\log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1)\) есть \(x = 2\) и \(x = 3\). Ответ: \(x = 2\) и \(x = 3\).