Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(2log_{2}\frac{x-7}{x-1}+log_{2}\frac{x-1}{x+1}=1\)

Ответ

-17

Решение № 16023:

Для решения уравнения \(2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \]
2. Введем обозначение для логарифмов: \[ \log_{2} \frac{x-7}{x-1} = a \quad \text{и} \quad \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = b \]
3. Запишем уравнение с новыми обозначениями: \[ 2a + b = 1 \]
4. Используем свойство логарифмов для сложения: \[ \log_{2} \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \]
5. Объединим логарифмы: \[ \log_{2} \left( \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} \right) = 1 \]
6. Упростим выражение внутри логарифма: \[ \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \]
7. Умножим и упростим дроби: \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \]
8. Сократим \((x-1)\): \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)(x+1)} = 2 \]
9. Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\): \[ (x-7)^2 = 2(x-1)(x+1) \]
10. Раскроем скобки: \[ x^2 - 14x + 49 = 2(x^2 - 1) \]
11. Упростим выражение: \[ x^2 - 14x + 49 = 2x^2 - 2 \]
12. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 14x + 49 - 2x^2 + 2 = 0 \]
13. Упростим выражение: \[ -x^2 - 14x + 51 = 0 \]
14. Умножим все члены на -1: \[ x^2 + 14x - 51 = 0 \]
15. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \]
16. Вычислим дискриминант: \[ \Delta = 14^2 + 4 \cdot 51 = 196 + 204 = 400 \]
17. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-14 \pm 20}{2} \]
18. Рассчитаем значения \(x\): \[ x_1 = \frac{-14 + 20}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 - 20}{2} = -17 \]
19. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи: \[ \text{Для } x = 3: \quad \frac{3-7}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2 \quad (\text{допустимо}) \] \[ \text{Для } x = -17: \quad \frac{-17-7}{-17-1} = \frac{-24}{-18} = \frac{4}{3} \quad (\text{допустимо}) \]

Таким образом, решение уравнения \(2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1\) есть \(x = 3\) и \(x = -17\). Ответ: \(3\) и \(-17\).