Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}x+log_{3}(x-2)=log_{3}(2x-3)\)

Ответ

3

Решение № 16018:

Для решения уравнения \( \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \]
2. Используем свойство логарифмов, что \(\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)\): \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(x(x-2)) \]
3. Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \log_{3}(x(x-2)) = \log_{3}(2x-3) \]
4. Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ x(x-2) = 2x-3 \]
5. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[ x^2 - 2x = 2x - 3 \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 2x - 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\) методом факторизации: \[ (x-1)(x-3) = 0 \]
8. Найдем корни уравнения: \[ x-1 = 0 \quad \text{или} \quad x-3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 3 \]
9. Проверим решения на допустимость. Для логарифмов \(x > 0\) и \(x-2 > 0\): \[ x = 1 \quad \text{не подходит, так как} \quad 1-2 < 0 \] \[ x = 3 \quad \text{подходит, так как} \quad 3-2 > 0 \]

Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \) есть \( x = 3 \). Ответ: 3