Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решить уравнение: \(log_{6}(x+1)+log_{6}(2x+1)=1\)
Ответ
1
Решение № 16017:
Для решения уравнения \(\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1
\]
- Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[
\log_{6}((x+1)(2x+1)) = 1
\]
- Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:
\[
(x+1)(2x+1) = 6^1
\]
\[
(x+1)(2x+1) = 6
\]
- Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:
\[
(x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1 = 6
\]
\[
2x^2 + 3x + 1 - 6 = 0
\]
\[
2x^2 + 3x - 5 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) с использованием формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -5\):
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm 7}{4}
\]
- Найдем корни уравнения:
\[
x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1
\]
\[
x = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}
\]
- Проверим найденные корни на область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Логарифмы определены только для положительных аргументов:
\[
x + 1 > 0 \implies x > -1
\]
\[
2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2}
\]
Таким образом, \(x\) должно быть больше \(-\frac{1}{2}\).
- Проверим корни:
\[
x = 1 \quad \text{(подходит, так как } 1 > -\frac{1}{2}\text{)}
\]
\[
x = -\frac{5}{2} \quad \text{(не подходит, так как } -\frac{5}{2} < -\frac{1}{2}\text{)}
\]
Таким образом, решение уравнения \(\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1\) есть \(x = 1\).
Ответ: 1