Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(x+2)=log_{1/4}(3x+4)\)

Ответ

-1

Решение № 16013:

Для решения уравнения \( \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \]
2. Перепишем логарифм с основанием \( \frac{1}{4} \) через логарифм с основанием 2. Поскольку \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), используем свойство логарифмов: \[ \log_{1/4}(3x+4) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{\log_{2}(1/4)} \]
3. Вычислим \( \log_{2}(1/4) \): \[ \log_{2}(1/4) = \log_{2}(2^{-2}) = -2 \]
4. Подставим результат в уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{-2} \]
5. Умножим обе части уравнения на -2: \[ -2 \log_{2}(x+2) = \log_{2}(3x+4) \]
6. Используем свойство логарифмов \( a \log_{b}(c) = \log_{b}(c^a) \): \[ \log_{2}((x+2)^{-2}) = \log_{2}(3x+4) \]
7. Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ (x+2)^{-2} = 3x+4 \]
8. Приравняем выражения: \[ \frac{1}{(x+2)^2} = 3x+4 \]
9. Перепишем уравнение в виде: \[ 1 = (3x+4)(x+2)^2 \]
10. Умножим обе части уравнения на \((x+2)^2\): \[ (x+2)^2 = 1 \]
11. Развернем квадрат: \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]
12. Получим уравнение: \[ x^2 + 4x + 4 = 1 \]
13. Перенесем 1 в левую часть уравнения: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
14. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
15. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
16. Проверим полученные корни на условия задачи: \[ x+2 > 0 \quad \text{и} \quad 3x+4 > 0 \] Для \( x = -1 \): \[ -1 + 2 = 1 > 0 \quad \text{и} \quad 3(-1) + 4 = 1 > 0 \] Для \( x = -3 \): \[ -3 + 2 = -1 \not> 0 \quad \text{и} \quad 3(-3) + 4 = -5 \not> 0 \]
17. Таким образом, уравнение имеет единственное решение: \[ x = -1 \]

Ответ: -1