Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решить уравнение: \(log_{25}(4x-x^{2}+5)=log_{5}(1-2x)\)
Ответ
-0.4
Решение № 16011:
Для решения уравнения \(\log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x)\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
\log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x)
\]
- Перепишем логарифмы с одинаковым основанием. Заметим, что \(25 = 5^2\), поэтому:
\[
\log_{25}(a) = \frac{\log_{5}(a)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(a)}{2}
\]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[
\frac{\log_{5}(4x - x^2 + 5)}{2} = \log_{5}(1 - 2x)
\]
- Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
\log_{5}(4x - x^2 + 5) = 2 \log_{5}(1 - 2x)
\]
- Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b)\):
\[
\log_{5}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}((1 - 2x)^2)
\]
- Приравняем аргументы логарифмов, так как логарифмы равны:
\[
4x - x^2 + 5 = (1 - 2x)^2
\]
- Развернем скобки:
\[
4x - x^2 + 5 = 1 - 4x + 4x^2
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
4x - x^2 + 5 - 1 + 4x - 4x^2 = 0
\]
Упростим:
\[
-5x^2 + 8x + 4 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение:
\[
5x^2 - 8x - 4 = 0
\]
Используем формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = -4\):
\[
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4)}}{2 \cdot 5}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{10}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{10}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 12}{10}
\]
Получаем два решения:
\[
x_1 = \frac{8 + 12}{10} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{8 - 12}{10} = -0.4
\]
- Проверим решения на допустимость. Оба решения должны удовлетворять условиям логарифмов:
\[
4x - x^2 + 5 > 0 \quad \text{и} \quad 1 - 2x > 0
\]
Для \(x = 2\):
\[
4 \cdot 2 - 2^2 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 > 0
\]
\[
1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \not> 0
\]
Для \(x = -0.4\):
\[
4 \cdot (-0.4) - (-0.4)^2 + 5 = -1.6 - 0.16 + 5 = 3.24 > 0
\]
\[
1 - 2 \cdot (-0.4) = 1 + 0.8 = 1.8 > 0
\]
Таким образом, \(x = 2\) не подходит, а \(x = -0.4\) подходит.
Ответ: \(x = -0.4\).