Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(log_{x+2}(2x^{2}-4x+11)=2\)

Ответ

7

Решение № 16005:

Для решения уравнения \(\log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2 \]
2. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+2)^2 = 2x^2 - 4x + 11 \]
3. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ x^2 + 4x + 4 = 2x^2 - 4x + 11 \]
4. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x - 11 = 0 \]
5. Упростим уравнение: \[ -x^2 + 8x - 7 = 0 \] или \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -8\), и \(c = 7\).
7. Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} \]
8. Упростим подкоренное выражение: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} \]
9. Вычислим корень: \[ x = \frac{8 \pm 6}{2} \]
10. Получим два решения: \[ x = \frac{8 + 6}{2} = 7 \] и \[ x = \frac{8 - 6}{2} = 1 \]
11. Проверим решения на область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) \] Для \(x = 7\): \[ \log_{9}(2 \cdot 7^2 - 4 \cdot 7 + 11) = \log_{9}(98 - 28 + 11) = \log_{9}(81) = 2 \] Для \(x = 1\): \[ \log_{3}(2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 11) = \log_{3}(2 - 4 + 11) = \log_{3}(9) = 2 \]

Таким образом, решения уравнения \(\log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2\) являются \(x = 1\) и \(x = 7\). Ответ: \(1\) и \(7\).