Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}\left ( 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \right )=log_{5}0,2\)

Ответ

{3;10}

Решение № 16002:

Для решения уравнения \( \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \]
2. Вычислим значение \(\log_{5}0.2\): \[ \log_{5}0.2 = \log_{5}\left(\frac{1}{5}\right) = -1 \]
3. Подставим значение \(\log_{5}0.2\) в уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right) = -1 \]
4. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}b = c \Rightarrow a^c = b\): \[ 3^{-1} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \]
5. Упростим выражение: \[ \frac{1}{3} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \]
6. Вычтем \(\frac{2}{9}\) из обеих частей уравнения: \[ \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
8. Упростим выражение: \[ \frac{1}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
9. Представим \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \]
10. Приравняем показатели степеней: \[ x^{2}-13x+28 = -2 \]
11. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^{2}-13x+30 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \]
13. Вычислим дискриминант: \[ 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 \]
14. Вычислим корни уравнения: \[ x = \frac{13 \pm 7}{2} \]
15. Найдем два решения: \[ x = \frac{13 + 7}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x = \frac{13 - 7}{2} = 3 \]

Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \) есть \( x = 3 \) или \( x = 10 \). Ответ: 3 или 10