Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, биссектриса угла,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Из точки \(О\) проведены лучи \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) так, что \(\angle AOB=140^{\circ} ,\angle BOC=60^{\circ}\) и \(\angle AOC=160^{\circ}\) . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(ВОС\).

Ответ

110^{\circ}

Решение № 15982:

Для решения задачи о том, что два из этих углов образуют в сумме \(180^\circ\), и два других — тоже, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим точку на листе бумаги, из которой проведены четыре луча, делящие плоскость на четыре угла. Обозначим эти углы как \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и \(\delta\).
2. Поскольку сумма углов вокруг точки равна \(360^\circ\), имеем: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
3. Лист бумаги разрезали по биссектрисам этих углов, то есть каждый угол разделен на два равных угла. Обозначим эти углы как \(\alpha/2\), \(\beta/2\), \(\gamma/2\) и \(\delta/2\).
4. Теперь у нас есть восемь углов, каждый из которых является половиной одного из исходных углов. Сумма этих восьми углов также равна \(360^\circ\): \[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} + \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} + \frac{\delta}{2} = 360^\circ \]
5. Сгруппируем углы по парам: \[ \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} \right) + \left( \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} \right) + \left( \frac{\gamma}{2} + \frac{\gamma}{2} \right) + \left( \frac{\delta}{2} + \frac{\delta}{2} \right) = 360^\circ \]
6. Упростим выражение: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
7. Теперь рассмотрим пары углов, образованные биссектрисами. Каждая пара углов образует прямой угол, так как биссектрисы делят углы пополам. Таким образом, сумма двух любых смежных углов, образованных биссектрисами, равна \(180^\circ\).
8. Таким образом, если мы возьмем два смежных угла, образованных биссектрисами, их сумма будет: \[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ \quad \text{и} \quad \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} = 90^\circ \]
9. Следовательно, сумма двух углов, образованных биссектрисами, равна \(180^\circ\). Аналогично, сумма двух других углов также равна \(180^\circ\).

Таким образом, мы доказали, что два из этих углов образуют в сумме \(180^\circ\), и два других — тоже.