Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, биссектриса угла,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Из точки \(О\) проведены лучи \(ОА\), \(ОВ\) и \(ОС\) так, что \(\angle AOB=140^{\circ} ,\angle BOC=60^{\circ}\) и \(\angle AOC=80^{\circ}\) . Найдите угол между биссектрисами углов \(АОС\) и \(BOC\).
Ответ
70^{\circ}
Решение № 15981:
Для доказательства того, что угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\), выполним следующие шаги:
- Обозначим углы:
Пусть \(\angle A O M = \alpha\) и \(\angle B O M = \beta\).
- Заметим, что \(O C\) — биссектриса угла \(A O B\), то есть она делит угол \(A O B\) пополам.
- Сумма углов \(A O M\) и \(B O M\) равна углу \(A O B\):
\[
\alpha + \beta = \angle A O B
\]
- Так как \(O C\) — биссектриса угла \(A O B\), то:
\[
\angle A O C = \angle B O C = \frac{\angle A O B}{2}
\]
- Теперь выразим угол \(M O C\) через углы \(\alpha\) и \(\beta\):
\[
\angle M O C = \angle A O C - \angle A O M = \frac{\angle A O B}{2} - \alpha
\]
- Подставим выражение для \(\angle A O B\):
\[
\angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2} - \alpha = \frac{\alpha + \beta - 2\alpha}{2} = \frac{\beta - \alpha}{2}
\]
- Также можно выразить \(\angle M O C\) через угол \(\beta\):
\[
\angle M O C = \angle B O C - \angle B O M = \frac{\angle A O B}{2} - \beta
\]
- Подставим выражение для \(\angle A O B\):
\[
\angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2} - \beta = \frac{\alpha + \beta - 2\beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2}
\]
- Теперь сложим оба выражения для \(\angle M O C\):
\[
\frac{\beta - \alpha}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\beta - \alpha + \alpha - \beta}{2} = \frac{0}{2} = 0
\]
- Следовательно, \(\angle M O C\) равен полусумме углов \(\alpha\) и \(\beta\):
\[
\angle M O C = \frac{\alpha + \beta}{2}
\]
Таким образом, угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\).
Ответ: угол \(M O C\) равен полусумме углов \(A O M\) и \(B O M\).