Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, углы. Измерение углов, вертикальные углы,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Ответ

Пусть {M} — искомая точкаЛ ибо {M} лежит на отрезке {AB и AM/MB = 1/3}, либо {A} лежит на отрезке {MB и AM/AB = 1/2}

Решение № 15976:

Для доказательства того, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим два вертикальных угла \( \angle AOB \) и \( \angle COD \), которые имеют общую вершину \( O \).
2. Обозначим биссектрисы этих углов. Пусть \( OA \) и \( OB \) — стороны угла \( \angle AOB \), а \( OC \) и \( OD \) — стороны угла \( \angle COD \).
3. Биссектриса угла \( \angle AOB \) делит его на два равных угла, то есть \( \angle AOM = \angle MOB \), где \( M \) — точка пересечения биссектрисы с прямой \( AB \).
4. Аналогично, биссектриса угла \( \angle COD \) делит его на два равных угла, то есть \( \angle CON = \angle NOD \), где \( N \) — точка пересечения биссектрисы с прямой \( CD \).
5. Поскольку углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) являются вертикальными, они равны, то есть \( \angle AOB = \angle COD \).
6. Следовательно, половины этих углов также равны, то есть \( \angle AOM = \angle CON \) и \( \angle MOB = \angle NOD \).
7. Теперь рассмотрим прямую \( MN \), которая проходит через точки \( M \) и \( N \).
8. Поскольку биссектрисы делят вертикальные углы на равные части, прямая \( MN \) делит линию углов на две равные части.
9. Таким образом, прямая \( MN \) является общей биссектрисой для обоих углов и проходит через их общую вершину \( O \).
10. Следовательно, биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.