Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Точки \(А\), \(В\), \(С\), \(D\) не лежат на одной прямой, прямая \(АВ\) пересекает отрезок \(CD\), прямая \(CD\) пересекает отрезок \(АВ\). Докажите, что отрезки \(АВ\) и \(CD\) пересекаются.
Ответ
NaN
Решение № 15962:
Для решения задачи определения расположения точек на прямой \(AB\), расстояние от которых до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\), выполним следующие шаги:
- Обозначим координаты точек \(A\) и \(B\) на числовой прямой. Пусть координата точки \(A\) равна \(a\), а координата точки \(B\) равна \(b\).
- Предположим, что \(a < b\). Если \(a > b\), то можно переобозначить точки, поменяв их местами, чтобы \(a < b\).
- Рассмотрим произвольную точку \(X\) на числовой прямой с координатой \(x\).
- Запишем условие, что расстояние от точки \(X\) до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\):
\[
|x - a| > |x - b|
\]
- Рассмотрим случаи для \(x\):
- Если \(x < a\), то:
\[
|x - a| = a - x \quad \text{и} \quad |x - b| = b - x
\]
Условие принимает вид:
\[
a - x > b - x
\]
что эквивалентно:
\[
a > b
\]
что противоречит нашему предположению \(a < b\). Следовательно, таких точек \(x < a\) не существует.
- Если \(a \leq x \leq b\), то:
\[
|x - a| = x - a \quad \text{и} \quad |x - b| = b - x
\]
Условие принимает вид:
\[
x - a > b - x
\]
что эквивалентно:
\[
2x > a + b
\]
что эквивалентно:
\[
x > \frac{a + b}{2}
\]
Следовательно, такие точки \(x\) находятся в интервале \(\left( \frac{a + b}{2}, b \right]\).
- Если \(x > b\), то:
\[
|x - a| = x - a \quad \text{и} \quad |x - b| = x - b
\]
Условие принимает вид:
\[
x - a > x - b
\]
что эквивалентно:
\[
-a > -b
\]
что эквивалентно:
\[
a < b
\]
что соответствует нашему предположению \(a < b\). Следовательно, такие точки \(x\) находятся в интервале \((b, \infty)\).
- Объединим найденные интервалы:
\[
\left( \frac{a + b}{2}, b \right] \cup (b, \infty)
\]
Таким образом, точки, расстояние от которых до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\), находятся в интервале \(\left( \frac{a + b}{2}, \infty \right)\).
Ответ: \(\left( \frac{a + b}{2}, \infty \right)\)