Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В окружности проведены хорды \(AB\) и \(CD\). Расстояние между равными параллельными хордами \(AB\) и \(CD\) равно радиусу окружности. Найдите угол между пересекающимися прямыми \(AC\) и \(BD\).

Ответ

60

Решение № 15928:

Для решения задачи о нахождении угла между пересекающимися прямыми \(AC\) и \(BD\) в окружности с равными параллельными хордами \(AB\) и \(CD\), выполним следующие шаги:

1. Запишем исходные данные: хорды \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, расстояние между ними равно радиусу окружности \(R\).
2. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\), где \(AB = CD\) и \(AB \parallel CD\).
3. Пусть \(O\) — центр окружности. Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\).
4. Определим координаты точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) в декартовой системе координат с центром в точке \(O\):
   • \(A = (0, R)\)
   • \(B = (R, 0)\)
   • \(C = (0, -R)\)
   • \(D = (-R, 0)\)
5. Найдем координаты точки \(P\), где пересекаются прямые \(AC\) и \(BD\).
6. Уравнения прямых \(AC\) и \(BD\) в координатах:
   • Прямая \(AC\): \(y = -\frac{R}{R}x + R\)
   • Прямая \(BD\): \(y = \frac{R}{R}x\)
7. Решим систему уравнений для нахождения точки \(P\): \[ \begin{cases} y = -x + R \\ y = x \end{cases} \] Решая систему, получаем: \[ \begin{cases} -x + R = x \\ y = x \end{cases} \] \[ -x + R = x \implies 2x = R \implies x = \frac{R}{2} \] \[ y = \frac{R}{2} \] Таким образом, \(P = \left(\frac{R}{2}, \frac{R}{2}\right)\).
8. Найдем угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) через тангенс угла между ними: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] где \(m_1\) и \(m_2\) — угловые коэффициенты прямых \(AC\) и \(BD\) соответственно. \[ m_1 = -1, \quad m_2 = 1 \] \[ \tan(\theta) = \left| \frac{-1 - 1}{1 + (-1) \cdot 1} \right| = \left| \frac{-2}{0} \right| = \infty \] Таким образом, \(\theta = 90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).