Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

На катете \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу \(AB\) в точке \(K\). Найдите \(CK\), если \(AC = 2\) и \(∠A = 30^{o}\) .

Ответ

1

Решение № 15924:

Для решения задачи о нахождении длины отрезка \(CK\) в прямоугольном треугольнике \(ABC\) выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные: \[ AC = 2, \quad \angle A = 30^\circ \]
2. Определим длину гипотенузы \(AB\) с помощью тригонометрических функций: \[ \sin(\angle A) = \frac{AC}{AB} \] Подставим значения: \[ \sin(30^\circ) = \frac{2}{AB} \] Зная, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получим: \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{AB} \implies AB = 4 \]
3. Определим длину катета \(BC\) с помощью тригонометрических функций: \[ \cos(\angle A) = \frac{BC}{AB} \] Подставим значения: \[ \cos(30^\circ) = \frac{BC}{4} \] Зная, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получим: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{4} \implies BC = 2\sqrt{3} \]
4. Определим координаты точек \(A\), \(B\) и \(C\): \[ A(0, 0), \quad B(4, 0), \quad C(0, 2) \]
5. Найдем уравнение окружности, построенной на катете \(AC\) как на диаметре: Центр окружности находится в середине отрезка \(AC\), то есть в точке \((0, 1)\). Радиус окружности равен половине длины \(AC\), то есть 1. \[ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 1 \] Упростим уравнение: \[ x^2 + (y - 1)^2 = 1 \]
6. Найдем уравнение прямой \(AB\): \[ y = 0 \]
7. Найдем точку пересечения окружности и прямой \(AB\): Подставим \(y = 0\) в уравнение окружности: \[ x^2 + (0 - 1)^2 = 1 \] Упростим: \[ x^2 + 1 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0 \] Таким образом, точка пересечения \(K\) имеет координаты \((0, 0)\).
8. Найдем длину отрезка \(CK\): \[ CK = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \]

Таким образом, решение задачи о нахождении длины отрезка \(CK\) есть \(CK = 2\). Ответ: 2