Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные \(12\) и \(16\). Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.

Ответ

\(8\) и \(6\)

Решение № 15921:

Для решения задачи о нахождении расстояний от центра окружности до двух хорд, проведённых через концы диаметра и равных \(12\) и \(16\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим центр окружности как \(O\), концы диаметра как \(A\) и \(B\), а точки пересечения хорд с окружностью как \(C\) и \(D\) для первой хорды и \(E\) и \(F\) для второй хорды.
2. Пусть \(M\) и \(N\) — середины хорд \(CD\) и \(EF\) соответственно. Тогда \(OM\) и \(ON\) — перпендикуляры, опущенные из центра окружности на хорды \(CD\) и \(EF\).
3. Известно, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Следовательно, \(CM = MD = \frac{12}{2} = 6\) и \(EN = NF = \frac{16}{2} = 8\).
4. Используем теорему Пифагора для треугольников \(OMC\) и \(ONE\). Диаметр окружности равен \(2R\), где \(R\) — радиус окружности.
5. Для хорды \(CD\): \[ OM^2 + CM^2 = OC^2 \] \[ OM^2 + 6^2 = R^2 \] \[ OM^2 + 36 = R^2 \]
6. Для хорды \(EF\): \[ ON^2 + EN^2 = OE^2 \] \[ ON^2 + 8^2 = R^2 \] \[ ON^2 + 64 = R^2 \]
7. Расстояния \(OM\) и \(ON\) можно найти, выразив радиус \(R\) из предыдущих уравнений:
8. Для хорды \(CD\): \[ OM = \sqrt{R^2 - 36} \]
9. Для хорды \(EF\): \[ ON = \sqrt{R^2 - 64} \]
10. Теперь найдём радиус \(R\). Для этого воспользуемся тем, что диаметр \(AB\) делит хорды пополам и перпендикуляры \(OM\) и \(ON\) проходят через центры хорд. Рассмотрим треугольник \(OAB\), где \(AB\) — диаметр, а \(O\) — центр окружности.
11. Радиус \(R\) можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника \(OAB\): \[ R^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2 \] \[ R^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2 \] \[ R^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ R^2 = 36 + 64 \] \[ R^2 = 100 \] \[ R = 10 \]
12. Теперь подставим \(R = 10\) в выражения для \(OM\) и \(ON\): \[ OM = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] \[ ON = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, расстояния от центра окружности до хорд \(CD\) и \(EF\) равны \(8\) и \(6\) соответственно. Ответ: \(8\) и \(6\).