Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Через точку \(A\), лежащую на окружности, проведены диаметр \(AB\) и хорда \(AC\), причем \(AC = 8\) и \(∠BAC = 30^{o}\) . Найдите хорду \(CM\), перпендикулярную \(AB\).

Ответ

8

Решение № 15920:

Для решения задачи о нахождении хорды \(CM\), перпендикулярной \(AB\), выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные: \[ AC = 8, \quad \angle BAC = 30^\circ \]
2. Определим, что \(AB\) — это диаметр окружности, а \(AC\) — хорда, проведённая через точку \(A\).
3. Найдём угол \(\angle ACB\): \[ \angle ACB = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
4. Теперь найдём длину отрезка \(BC\): \[ BC = AC \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3} \]
5. Найдём длину отрезка \(AM\), который является проекцией \(AC\) на \(AB\): \[ AM = AC \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]
6. Теперь найдём длину отрезка \(MB\): \[ MB = AB - AM = 2R - 4\sqrt{3} \] где \(R\) — радиус окружности.
7. Найдём радиус \(R\) окружности, используя теорему синусов для треугольника \(ABC\): \[ R = \frac{AC}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 8 \]
8. Теперь найдём длину отрезка \(MB\): \[ MB = 2R - 4\sqrt{3} = 2 \cdot 8 - 4\sqrt{3} = 16 - 4\sqrt{3} \]
9. Найдём длину хорды \(CM\), используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(CMB\): \[ CM = \sqrt{BC^2 - MB^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (16 - 4\sqrt{3})^2} \]
10. Вычислим квадраты длин: \[ (8\sqrt{3})^2 = 192, \quad (16 - 4\sqrt{3})^2 = 256 - 128\sqrt{3} + 48 \]
11. Теперь найдём \(CM\): \[ CM = \sqrt{192 - (256 - 128\sqrt{3} + 48)} = \sqrt{192 - 304 + 128\sqrt{3}} = \sqrt{-112 + 128\sqrt{3}} \]
12. Упростим выражение: \[ CM = \sqrt{128\sqrt{3} - 112} \]

Таким образом, длина хорды \(CM\), перпендикулярной \(AB\), равна: \[ CM = \sqrt{128\sqrt{3} - 112} \] Ответ: \(\sqrt{128\sqrt{3} - 112}\)