Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите геометрическое место точек \(M\), из которых данный отрезок \(AB\) виден под прямым углом (т. е. \(∠AMB = 90^{o}\)

Ответ

Окружность с диаметром \(AB\) без точек \(A\) и \(B\)

Решение № 15918:

Для решения задачи о нахождении геометрического места точек \(M\), из которых данный отрезок \(AB\) виден под прямым углом (т. е. \(\angle AMB = 90^\circ\)), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим отрезок \(AB\).
2. Введем декартову систему координат, в которой точка \(A\) имеет координаты \((x_1, y_1)\), а точка \(B\) — \((x_2, y_2)\).
3. Определим координаты точки \(M\) как \((x, y)\).
4. Для того чтобы отрезок \(AB\) виделся из точки \(M\) под прямым углом, угол \(\angle AMB\) должен быть равен \(90^\circ\).
5. Используем теорему о произведении скалярных произведений векторов: если \(\angle AMB = 90^\circ\), то скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM}\) равно нулю.
6. Выразим векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM}\) через координаты точек:
\[ \overrightarrow{AM} = (x - x_1, y - y_1) \] \[ \overrightarrow{BM} = (x - x_2, y - y_2) \]
7. Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BM}\):
\[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) \]
8. Поскольку \(\angle AMB = 90^\circ\), скалярное произведение должно быть равно нулю:
\[ (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 \]
9. Развернем скобки и упростим уравнение:
\[ (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 + y^2 - y_1y - y_2y + y_1y_2 = 0 \]
10. Сгруппируем и упростим члены уравнения:
\[ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0 \]
11. Полученное уравнение представляет собой уравнение окружности, так как это квадратное уравнение в \(x\) и \(y\).
12. Таким образом, геометрическое место точек \(M\), из которых отрезок \(AB\) виден под прямым углом, является окружностью с центром в середине отрезка \(AB\) и радиусом, равным половине длины отрезка \(AB\).

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка \(AB\) и радиусом, равным половине длины отрезка \(AB\).