Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Даны две концентрические окружности и пересекающая их прямая. Докажите, что отрезки этой прямой, заключенные между окружностями, равны.

Ответ

NaN

Решение № 15911:

Для решения задачи о нахождении угла между радиусами \(OA\) и \(OB\), если расстояние от центра \(O\) окружности до хорды \(AB\) вдвое меньше \(OA\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим длину радиуса \(OA\) как \(R\).
2. Расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) равно \( \frac{R}{2} \).
3. Рассмотрим треугольник \(OAM\), где \(M\) — середина хорды \(AB\).
4. В треугольнике \(OAM\) известно, что \(OM = \frac{R}{2}\) и \(OA = R\).
5. Используем теорему Пифагора для треугольника \(OAM\): \[ AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4} \]
6. Найдем длину \(AM\): \[ AM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2} \]
7. Так как \(M\) — середина хорды \(AB\), то \(AB = 2 \cdot AM = R\sqrt{3}\).
8. Используем теорему о связи между хордой и радиусом: \[ AB = 2R \sin \left(\frac{\angle AOB}{2}\right) \]
9. Подставим значение \(AB\): \[ R\sqrt{3} = 2R \sin \left(\frac{\angle AOB}{2}\right) \]
10. Разделим обе части уравнения на \(2R\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left(\frac{\angle AOB}{2}\right) \]
11. Найдем угол \(\frac{\angle AOB}{2}\): \[ \sin \left(\frac{\angle AOB}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{\angle AOB}{2} = 60^\circ \]
12. Найдем угол \(\angle AOB\): \[ \angle AOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \]

Таким образом, угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) равен \(120^\circ\). Ответ: \(120^\circ\).