Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите угол между радиусами \(OA\) и \(OB\), если расстояние от центра \(O\) окружности до хорды \(AB\): вдвое меньше \(OA\).
Ответ
\(120^{o}\)
Решение № 15909:
Для решения задачи о нахождении угла между радиусами \(OA\) и \(OB\), если расстояние от центра \(O\) окружности до хорды \(AB\) вдвое меньше \(OA\), выполним следующие шаги:
- Обозначим длину радиуса окружности как \(R\). Тогда \(OA = OB = R\).
- Пусть \(D\) — середина хорды \(AB\). По условию, расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) (то есть \(OD\)) вдвое меньше \(OA\). Следовательно, \(OD = \frac{R}{2}\).
- В треугольнике \(OAD\) известно, что \(OA = R\) и \(OD = \frac{R}{2}\). Так как \(D\) — середина хорды \(AB\), то \(AD = \frac{AB}{2}\).
- Используем теорему Пифагора для треугольника \(OAD\):
\[
OA^2 = OD^2 + AD^2
\]
Подставим известные значения:
\[
R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2
\]
Упростим уравнение:
\[
R^2 = \frac{R^2}{4} + \frac{AB^2}{4}
\]
Умножим обе части уравнения на 4:
\[
4R^2 = R^2 + AB^2
\]
Упростим:
\[
3R^2 = AB^2
\]
Отсюда:
\[
AB = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}
\]
- Теперь найдем угол между радиусами \(OA\) и \(OB\). В треугольнике \(OAB\) известны все стороны: \(OA = OB = R\) и \(AB = R\sqrt{3}\).
- Используем косинус теорему для треугольника \(OAB\):
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)
\]
Подставим известные значения:
\[
(R\sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\angle AOB)
\]
Упростим уравнение:
\[
3R^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos(\angle AOB)
\]
Упростим:
\[
3R^2 = 2R^2 (1 - \cos(\angle AOB))
\]
Разделим обе части уравнения на \(2R^2\):
\[
\frac{3}{2} = 1 - \cos(\angle AOB)
\]
Отсюда:
\[
\cos(\angle AOB) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Следовательно, угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) равен:
\[
\angle AOB = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ
\]
Таким образом, угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) равен \(120^\circ\).
Ответ: \(120^\circ\)