Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите угол между радиусами \(OA\) и \(OB\), если расстояние от центра \(O\) окружности до хорды \(AB\): вдвое меньше \(AB\);

Ответ

\(90^{o}\)

Решение № 15908:

Для решения задачи о нахождении угла между радиусами \(OA\) и \(OB\), если расстояние от центра \(O\) окружности до хорды \(AB\) вдвое меньше \(AB\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим длину хорды \(AB\) как \(2a\). Тогда расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) будет \(a\).
2. Соединим центр \(O\) с точкой \(A\) и \(B\), образуя два равных радиуса \(OA\) и \(OB\).
3. Проведем перпендикуляр из центра \(O\) на хорду \(AB\), обозначим точку пересечения как \(M\). Тогда \(OM\) перпендикулярно \(AB\).
4. Треугольник \(OAM\) и \(OBM\) будут равнобедренными треугольниками с \(OA = OB\) и \(AM = BM = a\).
5. Из прямоугольного треугольника \(OAM\) найдем \(\sin(\angle OAM)\): \[ \sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} = \frac{a}{OA} \] Поскольку \(OA = R\) (радиус окружности), то: \[ \sin(\angle OAM) = \frac{a}{R} \]
6. Из условия задачи \(OM = \frac{AB}{2} = a\), следовательно: \[ \sin(\angle OAM) = \frac{a}{R} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \]
7. Решим уравнение \(\sin(\angle OAM) = \frac{1}{2}\): \[ \angle OAM = 30^\circ \]
8. Поскольку угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) является центральным углом, который вдвое больше угла \(OAM\), то: \[ \angle AOB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \]

Таким образом, угол между радиусами \(OA\) и \(OB\) равен \(60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\)