Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите следующие свойства окружности: хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны.

Ответ

NaN

Решение № 15904:

Для доказательства свойства окружности, что хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\).
2. Пусть \(A\) и \(B\) — концы одной хорды, а \(C\) и \(D\) — концы другой хорды. Обозначим хорды как \(AB\) и \(CD\).
3. Пусть точка \(M\) — середина хорды \(AB\), а точка \(N\) — середина хорды \(CD\).
4. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины хорд, они лежат на перпендикулярах, опущенных из центра окружности \(O\) на эти хорды. Обозначим эти перпендикуляры как \(OM\) и \(ON\).
5. Так как \(M\) и \(N\) удалены от центра окружности на равные расстояния, имеем \(OM = ON\).
6. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \(OMB\) и \(OND\). В этих треугольниках:
• \(OM = ON\) (по условию)
• \(OB = OD = R\) (радиусы окружности)
7. По двум сторонам (гипотенузе и катету) прямоугольные треугольники \(OMB\) и \(OND\) равны по теореме Пифагора.
8. Следовательно, \(MB = ND\).
9. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины хорд \(AB\) и \(CD\) соответственно, имеем \(AM = MB\) и \(CN = ND\).
10. Так как \(MB = ND\), то и \(AM = CN\).
11. Следовательно, хорды \(AB\) и \(CD\) равны, так как их половины равны.

Таким образом, доказано, что хорды, удаленные от центра окружности на равные расстояния, равны.