Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\(5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))}\) при \(a=5, b=2\)

Ответ

0.2

Решение № 14662:

Для решения задачи упростить и вычислить выражение \(5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))}\) при \(a=5, b=2\), выполним следующие шаги:

1. Подставим значения \(a=5\) и \(b=2\) в выражение:
\[ 5^{(log_{2+1}(5-2)-2log_{5-2}(2+1)):(2log_{2}(5-1)-log_{2}(5+3))} \]
2. Упростим аргументы логарифмов:
\[ 5^{(log_{3}(3)-2log_{3}(3)):(2log_{2}(4)-log_{2}(8))} \]
3. Используем свойства логарифмов:
\[ log_{3}(3) = 1 \quad \text{и} \quad log_{3}(3) = 1 \] \[ log_{2}(4) = log_{2}(2^2) = 2 \quad \text{и} \quad log_{2}(8) = log_{2}(2^3) = 3 \]
4. Подставим эти значения в выражение:
\[ 5^{(1-2):(2 \cdot 2 - 3)} \]
5. Упростим выражение в скобках:
\[ 1 - 2 = -1 \quad \text{и} \quad 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]
6. Теперь у нас есть выражение:
\[ 5^{(-1):1} \]
7. Упростим деление:
\[ (-1):1 = -1 \]
8. Подставим результат в выражение:
\[ 5^{-1} \]
9. Используем свойство степени:
\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
10. Таким образом, окончательный ответ:
\[ \frac{1}{5} \]

Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ 5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))} = 5^{(-1):1} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]