Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\(2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)}\) при \(a=7, b=3\)

Ответ

0.125

Решение № 14661:

Пошаговое решение задачи 'Упростить и Вычислить: выражение \(2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)}\) при \(a=7, b=3\)' выглядит так:

1. Подставим значения \(a = 7\) и \(b = 3\) в выражение: \(2^{(log_{7}3+log_{7}9):(3log_{7}2-log_{7}24)}\).
2. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}(b \cdot c) = log_{a}b + log_{a}c\).
3. Применим это свойство к первой части выражения: \(log_{7}3 + log_{7}9 = log_{7}(3 \cdot 9) = log_{7}27\).
4. Упростим \(log_{7}24\) в знаменателе: \(log_{7}24 = log_{7}(8 \cdot 3) = log_{7}8 + log_{7}3\).
5. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a^b = b\).
6. Применим это свойство к \(log_{7}8\): \(log_{7}8 = log_{7}2^3 = 3 \cdot log_{7}2\).
7. Подставим это в знаменатель: \(3log_{7}2 - (3log_{7}2 + log_{7}3) = 3log_{7}2 - 3log_{7}2 - log_{7}3 = -log_{7}3\).
8. Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(-log_{7}3)}\).
9. Упростим знаменатель: \(-log_{7}3 = log_{7}\left(\frac{1}{3}\right)\).
10. Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(log_{7}\left(\frac{1}{3}\right))}\).
11. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}b : log_{a}c = log_{c}b\).
12. Применим это свойство: \(log_{7}27 : log_{7}\left(\frac{1}{3}\right) = log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\).
13. Упростим \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\): \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3^3 = 3 \cdot log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3\).
14. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a = 1\).
15. Применим это свойство: \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3 = -1\).
16. Подставим это в выражение: \(3 \cdot (-1) = -3\).
17. Теперь у нас есть выражение: \(2^{-3}\).
18. Упростим \(2^{-3}\): \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).

Итак, ответ будет: \[2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)} = \frac{1}{8} \text{ при } a = 7, b = 3.\]