Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((a^{\frac{log_{27}b}{log_{3}b}}\cdot b^{\frac{log_{27}a}{log_{3}a}})^{3log_{ab}2}\) при \(a=4,3, b=7\)

Ответ

2

Решение № 14659:

Для упрощения и вычисления выражения \((a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}})^{3\log_{ab}2}\) при \(a = 4,3\) и \(b = 7\), выполним следующие шаги:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\).
2. Заменим \(\log_{27}b\) и \(\log_{27}a\) с использованием свойства логарифмов:
\[ \log_{27}b = \frac{\log_{3}b}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}b}{3} \] \[ \log_{27}a = \frac{\log_{3}a}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}a}{3} \]
3. Подставим эти значения в исходное выражение:
\[ a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}} = a^{\frac{\frac{\log_{3}b}{3}}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\frac{\log_{3}a}{3}}{\log_{3}a}} = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \]
4. Теперь возведем это выражение в степень \(3\log_{ab}2\):
\[ (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}2} = (a \cdot b)^{\log_{ab}2} \]
5. Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\).
6. Применим это свойство:
\[ (a \cdot b)^{\log_{ab}2} = 2 \]
7. Итак, выражение упрощается до 2.

Теперь подставим конкретные значения \(a = 4,3\) и \(b = 7\):

1. Подставим \(a = 4,3\) и \(b = 7\) в упрощенное выражение:
\[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \]
2. Таким образом, результат выражения при данных значениях равен 2.

Итак, окончательный ответ: \[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \]