Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых тригонометрических выражений
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Упростите \(\frac{tg\alpha +tg\beta }{tg(\alpha +\beta )}+\frac{tg\alpha -tg\beta }{tg(\alpha -\beta )}\)
Ответ
2
Решение № 14116:
Конечно, давайте решим задачу пошагово.
```html
- Начнем с выражения:
\(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan (\alpha + \beta)} + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan (\alpha - \beta)}\)
- Используем формулы для тангенса суммы и разности углов:
\(\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\)
и
\(\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\)
- Подставляем эти формулы в наше выражение:
\(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}} + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}}\)
- Упрощаем дроби:
\(\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \cdot (1 - \tan \alpha \tan \beta) + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} \cdot (1 + \tan \alpha \tan \beta)\)
- Упрощаем выражение:
\((1 - \tan \alpha \tan \beta) + (1 + \tan \alpha \tan \beta)\)
- Складываем оставшиеся члены:
\(1 - \tan \alpha \tan \beta + 1 + \tan \alpha \tan \beta = 2\)
Ответ: \(2\)
```
Таким образом, упрощенное выражение равно 2.