Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Вычислите \(\frac{sin\frac{3\pi }{8}sin\frac{\pi }{8}-cos\frac{3\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}}{tg\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )}\)

Ответ

0

Решение № 14095:

Для решения задачи \(\frac{\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}\) пошагово, следуем этим этапам:

1. Используем формулу для произведения синусов и косинусов: \(\sin A \sin B - \cos A \cos B = -\cos(A + B)\)
   Подставляем \(A = \frac{3\pi}{8}\) и \(B = \frac{\pi}{8}\):
   \(\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = -\cos\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{4\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
2. Находим значение \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\): \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
   Таким образом: \(\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = -0 = 0\)
3. Используем формулу для тангенса суммы углов: \(\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B}\)
   Подставляем \(A = \frac{\pi}{4}\) и \(B = \alpha\):
   \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha}\)
4. Находим значение \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\): \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1\)
   Таким образом: \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - 1 \cdot \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha}\)
5. Подставляем результаты в исходное выражение: \(\frac{\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = \frac{0}{\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha}} = 0\)

Ответ: \( \boxed{0} \)