Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Вычислить: \(cos^{2}(570^{0}):sin^{2}(-840^{0})\)

Ответ

1

Решение № 14064:

Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность функций синуса и косинуса:
• Для косинуса: $\cos(570^\circ) = \cos(570^\circ - 360^\circ) = \cos(210^\circ)$
• Для синуса: $\sin(-840^\circ) = \sin(-840^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \sin(-120^\circ)$
2. Упростим далее:
• $\cos(210^\circ) = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$
• $\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$
3. Вычислим значения тригонометрических функций:
• $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. Возведем эти значения в квадрат:
• $\cos^2(210^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
• $\sin^2(-120^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
5. Теперь вычислим отношение:
• $\frac{\cos^2(210^\circ)}{\sin^2(-120^\circ)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = 1$

Ответ: $1$