Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Значение \(cos\alpha=0,2\). Вычислить: значения выражений\(cos\left(2\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\right)sin\left(\alpha+\frac{7\pi}{2}\right)\)

Ответ

-0.184

Решение № 14050:

Для решения задачи вычислим значение выражения \( \cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) \) при \(\cos\alpha = 0.2\).

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)
2. Подставляем \(x = \alpha + \frac{\pi}{2}\): \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(2\alpha + \pi)\)
3. Используем свойство периодичности косинуса: \(\cos(2\alpha + \pi) = -\cos(2\alpha)\)
4. Подставляем значение \(\cos(2\alpha)\): \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\)
5. Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\cos(2\alpha) = 2(0.2)^2 - 1 = 2 \cdot 0.04 - 1 = 0.08 - 1 = -0.92\)
6. Таким образом: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\cos(2\alpha) = -(-0.92) = 0.92\)
7. Теперь вычислим \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right)\): \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right)\)
8. Используем свойство периодичности синуса: \(\sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\)
9. Используем свойство синуса: \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)\)
10. Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = 0.2\)
11. Таким образом: \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = -0.2\)
12. Подставляем в исходное выражение: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = 0.92 \cdot (-0.2) = -0.184\)

Ответ: \(-0.184\)