Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Вычислить: \(\frac{sin^{2}15^{0}\cdot sin75^{0}}{cos105^{0}}\)

Ответ

-0.25

Решение № 14049:

Для решения задачи \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ}\) выполним следующие шаги:

1. Используем тождество для синуса суммы углов: \(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)\)
2. Применяем формулу суммы углов для синуса: \(\sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)
3. Подставляем значения синусов и косинусов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
4. Вычисляем \(\sin 75^\circ\): \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
5. Используем тождество для косинуса суммы углов: \(\cos 105^\circ = \cos (90^\circ + 15^\circ)\)
6. Применяем формулу суммы углов для косинуса: \(\cos (90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ\)
7. Подставляем значение синуса: \(\cos 105^\circ = -\sin 15^\circ\)
8. Вычисляем \(\sin^2 15^\circ\): \(\sin^2 15^\circ = \left(\sin 15^\circ\right)^2\)
9. Подставляем все значения в исходное выражение: \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ} = \frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ}\)
10. Упрощаем выражение: \(\frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ} = -\frac{\sin 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin 15^\circ\)
11. Используем значение \(\sin 15^\circ\): \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
12. Подставляем \(\sin 15^\circ\) в выражение: \(\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\)
13. Упрощаем выражение: \(= -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}\)
14. Вычисляем произведение: \(= -\frac{6 - 2}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}\)

Ответ: \(-\frac{1}{4}\)