Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Финансовая математика(С5) Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Ответ

6*6

Решение № 13616:

Для решения задачи Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Обозначим сомножители как \( a \) и \( b \), такие что \( a \cdot b = 36 \).
2. Необходимо минимизировать сумму их квадратов \( a^2 + b^2 \).
3. Используем тот факт, что для минимизации суммы квадратов сомножители должны быть как можно ближе друг к другу. Это следует из неравенства Коши-Шварца:
\[ (a^2 + b^2) \geq 2ab \]
4. Подставим \( ab = 36 \) в неравенство: \[ (a^2 + b^2) \geq 2 \cdot 36 = 72 \]
5. Равенство достигается, когда \( a = b \). Следовательно, \( a \) и \( b \) должны быть равны.
6. Решим уравнение \( a \cdot a = 36 \): \[ a^2 = 36 \implies a = \sqrt{36} = 6 \]
7. Таким образом, \( b = 6 \).
8. Проверим, что сумма квадратов минимальна: \[ a^2 + b^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72 \]

Ответ:
Сомножители: \( a = 6 \) и \( b = 6 \)
Минимальная сумма их квадратов: \( 72 \)