Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=\frac{x^{2}}{17}-ln(x^{2}-8)\)

Ответ

x_{min}=-5, x_{min}=5

Решение № 13306:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Разделим производную на две части:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) - \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) \]
3. Найдем производные каждой части:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\ln(x^2 - 8)\right) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = \frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Объединим производные:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
6. Вынесем \( 2x \) за скобку:
\[ 2x \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} \right) = 0 \]
7. Решим уравнение:
\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \]
8. Решение \( 2x = 0 \):
\[ x = 0 \]
9. Решение \( \frac{1}{17} - \frac{1}{x^2 - 8} = 0 \):
\[ \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \] \[ 17 = x^2 - 8 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = \pm 5 \]
10. Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции \( x^2 - 8 > 0 \):
\[ x > \sqrt{8} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{8} \]
11. Точки \( x = 0 \) и \( x = -5 \) не попадают в область определения. Точка \( x = 5 \) попадает.
12. Вычислим значения функции в критических точках:
\[ y(5) = \frac{5^2}{17} - \ln(5^2 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(25 - 8) = \frac{25}{17} - \ln(17) \]
13. Сравним значения функции в критических точках и определим точки максимумов и минимумов:

Ответ:
Точка минимума: \( x = 5 \)
Значение функции в точке минимума: \( y(5) = \frac{25}{17} - \ln(17) \)