Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=3x^{4}-4x^{3}-6x^{2}+12x-8\)

Ответ

x_{min}=-1

Решение № 13303:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив на 12:
\[ x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \]
4. Факторизовать уравнение:
\[ (x-1)(x^2 - 1) = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = 0 \]
6. Получаем три корня:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 \]
7. Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 36x^2 - 24x - 12 \]
8. Вычислить значения второй производной в критических точках:
\[ y'(1) = 36(1)^2 - 24(1) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0 \] \[ y'(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 12 = 36 + 24 - 12 = 48 \]
9. Анализировать значения второй производной:
\[ y'(1) = 0 \quad \text{(не дает информации о характере точки)} \] \[ y'(-1) > 0 \quad \text{(минимум)} \]
10. Для точки \( x = 1 \) используем первый тест производной:
\[ y' = 12(x-1)^2(x+1) \] \[ \text{При } x < 1, y' < 0 \quad \text{(убывает)} \] \[ \text{При } x > 1, y' > 0 \quad \text{(возрастает)} \] \[ \text{Точка } x = 1 \text{ является точкой минимума} \]
11. Заключение:
\[ \text{Точки экстремума: } x = 1 \text{ (минимум), } x = -1 \text{ (минимум)} \]

Ответ:
Точки экстремума: \( x = 1 \) и \( x = -1 \)