Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=\frac{1}{2}x^{4}-2x\)

Ответ

x_{min}=1

Решение № 13302:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{1}{2}x^4 - 2x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = 2x^3 - 2 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x^3 - 2 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x^3 - 2 = 0 \implies \] \[ 2(x^3 - 1) = 0 \implies \] \[ x^3 - 1 = 0 \implies \] \[ x^3 = 1 \implies \] \[ x = 1 \]
4. Проверить вторую производную функции \( y \) для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{2}x^4 - 2x\right) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2) = 6x^2 \]
5. Оценить значение второй производной в критической точке \( x = 1 \):
\[ y'(1) = 6 \cdot 1^2 = 6 \]
6. Поскольку \( y'(1) > 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция имеет минимум.

Ответ:
Точка экстремума: \( x = 1 \) (локальный минимум)